Question

已知凼數(shù)f（x）=x³-x．
（1）求曲線y=f（x）過點(diǎn)（1，0）的切線方程；
（2）若過x軸上的點(diǎn)（a，0）可以作曲線y=f（x）三條切線，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求出切線的斜率和切線方程（用m，n表示），代入點(diǎn)（1，0），結(jié)合切點(diǎn)在曲線上，解方程可得m，進(jìn)而得到斜率和切線方程；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（s，t），求出切線的方程，代入（a，0），消去t，可得2s³-3as²+a=0，如果存在一條切線經(jīng)過點(diǎn)P（a，0），則存在s，使（3s²-1）a-2s³=0．于是若過點(diǎn)P可作曲線y=f（x）的三條切線，則方程（3s²-1）a-2s³=0．有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)g（s）=2s³-3as²+a，求出導(dǎo)數(shù)，對a討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值，令極小值小于0，極大值大于0，即可得到a的范圍．

解答： 解：（1）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
f（x）=x³-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-1，
則有切線的斜率為3m²-1，
切線的方程為y-n=（3m²-1）（x-m），
代入（1，0），可得n=（3m²-1）（m-1），
又n=m³-m，
解得m=1或-

1

2

，
則過點(diǎn)（1，0）的切線方程為y=x-1或y=-

1

2

x+

1

2

；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（s，t），
f（x）=x³-x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-1，
則有切線的斜率為3s²-1，
切線的方程為y-t=（3s²-1）（x-s），
代入（a，0），可得t=（3s²-1）（s-a），
又t=s³-s，
消去t，即有2s³-3as²+a=0，
由過點(diǎn)（a，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，
則方程（3s²-1）a-2s³=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
記g（s）=2s³-3as²+a，g′（s）=6s²-6as=6s（s-a），
若a=0，則g（s）遞增，不成立；
若a＞0，g′（s）＞0，則s＜0，或s＞a，g′（s）＜0，則0＜s＜a，
故g（s）在s=0處有極大值a，在s=a處有極小值a-a³，
要g（s）=0有3個(gè)不同的實(shí)根，
則a＞0且a-a³＜0，解得a＞1；
若a＜0，g′（s）＞0，則s＞0，或s＜a，g′（s）＜0，則a＜s＜0，
故g（s）在s=0處有極小值a，在s=a處有極大值a-a³，
要g（s）=0有3個(gè)不同的實(shí)根，
則a＜0且a-a³＞0，解得a＜-1．
綜上可得a＞1或a＜-1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，以及極值，考查方程和函數(shù)的轉(zhuǎn)化思想，注意在某點(diǎn)處的切線和過某點(diǎn)的切線的區(qū)別和極值的符號(hào)與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．