Question

6．（Ⅰ）求和：aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ（ab≠0）；
（Ⅱ）已知a_n=2n，b_n=3ⁿ，將數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)依次作為數(shù)列{c_n}的奇數(shù)項(xiàng)，將數(shù)列b{a_n}的各項(xiàng)依次作為數(shù)列{c_n}的偶數(shù)項(xiàng)，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，$\sum_{i=1}^n{i{a_i}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}}$（n≥2），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分a=b和a≠b，借助于等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式求解；
（Ⅱ）由題意，數(shù)列{c_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．然后分別寫出通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由已知遞推式寫出（n-1）時(shí)的遞推式，兩式作差得答案．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=b時(shí)，
aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ=（n+1）aⁿ；
當(dāng)a≠b時(shí)，
aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ（ab≠0）
=$\frac{{a}^{n}[1-（\frac{a}）^{n+1}]}{1-\frac{a}}=\frac{{a}^{n+1}-^{n+1}}{a-b}$；
（Ⅱ）由題意，數(shù)列{c_n}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列；
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．
則{c_n}的通項(xiàng)公式為：${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{4n-2，（n為奇數(shù)）}\\{{3}^{2n}，（n為偶數(shù)）}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）由${a_1}=2，\sum_{i=1}^n{i{a_i}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}}（n≥2）$，
得：$1•{a}_{1}+2•{a}_{2}+3•{a}_{3}+…n{a}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
∴1•a₁+2•a₂+3•a₃+…+（n-1）a_n-1=$4-\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$（n≥2）．
則$n{a}_{n}=4-\frac{n+2}{{2}^{n-1}}-4+\frac{n+1}{{2}^{n-2}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\frac{1}{{2}^{n-1}}$（n≥2），
驗(yàn)證a₁=2不適合上式，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{\frac{1}{{2}^{n-1}}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，訓(xùn)練了作差法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．