Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x-lnx-1）（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函數(shù)f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，并說明理由．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（I）函數(shù)f（x）=e^x（x-lnx-1），定義域為（0，+∞）．f′(x)=ex(x-lnx-

1

x

)．令g（x）=x-lnx-

1

x

，求出g′（x）＞0，即可得出函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．再利用g（1）=0，可得f′（x）的正負，即可得出函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
（II）不存在滿足題意的實數(shù)a，b．由（I）可知：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．若存在實數(shù)a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函數(shù)f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，則f（a）=a，f（b）=b．即方程f（x）=x在（0，+∞）上由兩個實數(shù)根．令g（x）=f（x）-x，利用導數(shù)研究其單調(diào)性與極值最值即可得出．

解答： 解：（I）函數(shù)f（x）=e^x（x-lnx-1），定義域為（0，+∞）．
f′(x)=ex(x-lnx-

1

x

)．
令g（x）=x-lnx-

1

x

，則g′(x)=1+

1

x2

-

1

x

=

x2-x+1

x2

＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
∵g（1）=0，∴當x＞1時，g（x）＞0，因此f′（x）＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當0＜x＜1時，g（x）＜0，因此f′（x）＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1）．
（II）不存在滿足題意的實數(shù)a，b．
由（I）可知：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
若存在實數(shù)a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函數(shù)f（x）在[a，b]值域也是[a，b]，
則f（a）=a，f（b）=b．即方程f（x）=x在（0，+∞）上由兩個實數(shù)根．
令g（x）=f（x）-x，則h′(x)=ex(x-lnx-

1

x

)-1．
由（I）可知：h′（x）單調(diào)遞增，h′（1）=-1＜0，h′（e）=e^e(e-1-

1

e

)-1＞0，
∴存在m∈（1，e），使得h′（m）=0．
并且當x∈（1，m）時，h′（x）＜0，h（x）為減函數(shù)；
當x∈（m，+∞）時，h′（x）＞0，h（x）為增函數(shù)．
即h（m）為h（x）在（1，+∞）上的最小值．
而h（1）=f（1）-1=-1＜0，∴h（x）=f（x）-x只有一個零點．
即f（x）=x在（1，+∞）上只有一個實數(shù)根．
∴不存在實數(shù)a，b∈（1，+∞），a＜b，使得函數(shù)f（x）在[a，b]值域也是[a，b]．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、函數(shù)零點的個數(shù)，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．