Question

已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．

（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值并寫出f（x）取最大值時(shí)的x的集合；
（3）畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)二倍角公式和和差角公式（輔助角公式），可將函數(shù)解析式化為正弦型函數(shù)，結(jié)合ω值，可求出函數(shù)的周期；
（2）令2x-

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，可得f（x）的最大值及f（x）取最大值時(shí)的x的集合；
（3）利用五點(diǎn)法可畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

解答： 解：∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=sin2x-cos2x+1=

2

sin（2x-

π

4

）+1…（4分）；
（1）∵ω=2，
∴T=π，
（2）當(dāng)2x-

π

4

=

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=

3π

8

+kπ，k∈Z時(shí)，f（x）取最大值，
f（x）的最大值為

2

+1，此時(shí)x的集合為{x|x=

3π

8

+kπ，k∈Z}；…（8分）；
（3）列表得：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
2x- π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
y	2	1+ 2	1	1- 2	1	2

…（10分）；
函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖所示：

…（12分）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的周期性和最值，是三角函數(shù)與集合的綜合應(yīng)用，難度中檔．