Question

當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，不等式x-1＜log_ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：∵x-1＜log_ax在（1，2）上恒成立
∴l(xiāng)og_ax-x+1＞0在（1，2）上恒成立
令f（x）=log_ax-x+1
f′（x）=-1
令f′（x）=-1=0解得x=
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f′（x）＜0
則函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，則log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此時(shí)a無解
當(dāng)1＜a≤時(shí)≥2，f′（x）＞0
則函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，則log_a1-1+1≥0，此時(shí)1＜a≤
當(dāng)＜a＜e時(shí)1＜＜2，
則函數(shù)f（x）在（1，）上單調(diào)遞增，在（，2）上單調(diào)遞減，log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此時(shí)＜a≤2
當(dāng)a≥e時(shí)0＜≤1，f′（x）＜0
則函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，則log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此時(shí)a無解
綜上所述：1＜a≤2
分析：作差構(gòu)造新函數(shù)f（x）=log_ax-x+1，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值證明不等式恒成立，從而求出a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，以及函數(shù)恒成立問題，同時(shí)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．