Question

11．如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分別是AB、BC的中點，將△ADE、△EBF、△FCD分別沿DE、EF、FD折起，使得A、B、C三點重合于點A′，若四面體A′EFD的四個頂點在同一個球面上，則該球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 把棱錐擴展為正四棱柱，求出正四棱柱的外接球的半徑就是三棱錐的外接球的半徑．

解答 解：由題意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．
三棱錐的底面A′EF擴展為邊長為1的正方形，
然后擴展為正四棱柱，三棱錐的外接球與正四棱柱的外接球是同一個球，
正四棱柱的對角線的長度就是外接球的直徑，直徑為：$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴球的半徑為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查三棱錐的外接球體積，考查學生的計算能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關鍵．