Question

如圖所示，三棱錐O-ABC中，OA=OB=OC=2，且，OA、OB、OC兩兩垂直（每兩條都垂直）．
（1）求三棱錐O-ABC的體積；
（2）求三棱錐O-ABC的高（O點到平面ABC的距離）；
（3）求三棱錐O-ABC外接球的表面積（三棱錐O-ABC四個頂點都在球面上）．

Answer 1

分析：（1）轉(zhuǎn)化三棱錐O-ABC的體積的為三棱錐A-OBC的體積，直接求三棱錐O-ABC的體積；
（2）利用體積公式直接求三棱錐O-ABC的高（O點到平面ABC的距離）；
（3）擴展三棱錐為長方體，求出三棱錐O-ABC外接球的半徑，然后求解其表面積（三棱錐O-ABC四個頂點都在球面上）．

解答：解（1）VO-ABC=VA-OBC=

1

3

S△OBC•OA=

4

3

…4′
（2）設(shè)三棱錐O-ABC高為h，
由已知可得AB=BC=CA=2

2

…5′
∴S△ABC=2

3

…7′
由VO-ABC=

1

3

S△ABC•h=

4

3

得h=

2

3

3

∴三棱錐O-ABC的高為

2

3

3

…9′
（3）以O(shè)A、OB、OC的棱將三棱錐O-ABC補為一個長方體如圖所示，
則三棱錐O-ABC的外接球就是該長方體的外接球，…10′
外接球直徑2R=2

3

，即R=

3

…13′
球的表面積為S =4πR2=12π…14′

點評：本題考查幾何體的體積的應(yīng)用，球的內(nèi)接多面體的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．