Question

已知集合M={x|ax²-2（a+1）x-1＞0}，M≠∅，M⊆{x|x＞0}，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：分類討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，討論a=0時(shí)，a＞0時(shí)，a＜0時(shí)，集合M的情況，求出滿足題意的集合M對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．

解答： 解：∵M(jìn)={x|ax²-2（a+1）x-1＞0}，
且M≠∅，M⊆{x|x＞0}，
∴當(dāng)a=0時(shí)，M={x|-2x-1＞0}={x|x＜-

1

2

}，不滿足題意，舍去；
當(dāng)a＞0時(shí)，若方程ax²-2（a+1）x-1=0有兩實(shí)數(shù)根x₁、x₂（不妨設(shè)x₁＞x₂），則M={x|x＞x₁，或x＜x₂}，
若方程無實(shí)數(shù)根，則M=R，都不滿足題意，舍去；
當(dāng)a＜0時(shí)，∵4（a+1）²-4a•（-1）＞0，
即4a²+12a+4＞0，
解得a＞

-3+ 5

2

，或a＜

-3- 5

2

①；
此時(shí)M={x|ax²-2（a+1）x-1＞0}={x|

(a+1)- a2+3a+1

a

＜x＜

(a+1)+ a2+3a+1

a

}，
令

(a+1)- a2+3a+1

a

＞0，
即

a＜0 (a+1)- a2+3a+1 ＜0

；
解得a＜-1②；
綜合①②得，a＜

-3- 5

2

；
∴a的取值范圍是{a|a＜

-3- 5

2

}．
故答案為：{a|a＜

-3- 5

2

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，也考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法問題，是較難的題目．