Question

【題目】設(shè)，為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.數(shù)列滿足：，.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】(1) ；(2).

【解析】

（1）n＝1時，解得a1＝1，n≥2時，an﹣an﹣1＝1，由此求出數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而an的通項(xiàng)公式，由已知得{bn}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，從而的通項(xiàng)公式；

（2）利用錯位相減法能求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

解：（1）n＝1時，2S1＝2 a1＝a12+a1，

a12﹣a1＝0，解得a1＝0（各項(xiàng)均為正數(shù)，舍去）或a1＝1，

n≥2時，

2Sn＝an2+an，

2Sn﹣1＝an﹣12+an﹣1，

2Sn﹣2Sn﹣1＝2an＝an2+an﹣an﹣12﹣an﹣1

an2﹣an﹣12﹣an﹣an﹣1＝0

（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0

∵數(shù)列各項(xiàng)均為正，∴an﹣an﹣1＝1，

∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．

∴an＝1+n﹣1＝n．

∵數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn+1=3bn+2（n≥2，n∈N *），

∴

∴{}是首項(xiàng)為3，公比為的等比數(shù)列，

∴．

（2）由（1）可知：cn＝anbn＝n，

∴Tn＝3+23，①

3Tn，②

①﹣②，得：3

∴．