【題目】如圖所示，在矩形中，，點是的中點，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角.

（1）證明: ；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意可得是等腰直角三角形，所以，因為平面平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，可得；（2）以所在的直線為軸、軸，過垂直于平面的射線為軸，建立空間直角坐標系，可得平面的法向量為;設平面的法向量為，列方程組賦值求得其坐標，根據(jù)向量的夾角公式可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）是的中點，是等腰直角三角形，易知，,即.又平面平面,面面面,又面.

（2）分別以所在的直線為軸、軸，過垂直于平面的射線為軸，建立空間直角坐標系，則.

設平面的法向量為;平面的法向量為.由

，二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，且．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設函數(shù)，當時，恒成立，求的取值范圍．

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【題目】某廠以千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品（生產(chǎn)條件要求），每一小時可獲得的利潤是元．

(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于1500元，求的取值范圍；

(2) 要使生產(chǎn)480千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：該廠應該選取何種生產(chǎn)速度？并求此最大利潤．

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【題目】已知橢圓的離心率為，、分別為左、右頂點，為其右焦點，是橢圓上異于、的動點，且的最小值為-2．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若過左焦點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍．

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【題目】某校高二某班的一次數(shù)學測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的損壞，可見部分如下：

試著根據(jù)表中的信息解答下列問題：

（Ⅰ）求全班的學生人數(shù)及分數(shù)在[70，80）之間的頻數(shù)；

（Ⅱ）為快速了解學生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于[70，80）和[80，90）分數(shù)段的試卷中抽取7份進行分析，再從中任選2人進行交流，求交流的學生中，成績位于[70，80）分數(shù)的人恰有一人被抽到的概率．

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【題目】英州育才中學某興趣小組欲研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多少之間的關系，他們分別到氣象局與市醫(yī)院抄錄了至月份每月號的晝夜溫差情況與因患感冒而就診的人數(shù)，得到如下資料（表）:

日期

月日

月日

月日

月日

月日

月日

晝夜溫差

就診人數(shù)(個)

該興趣小組確定的研究方案是:先從這六組數(shù)據(jù)中選取組，用剩下的組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用被選取的組數(shù)據(jù)進行檢驗.

（1）求選取的組數(shù)據(jù)恰好是相鄰兩個月的概率；

（2）求選取的是月與月的兩組數(shù)據(jù)，請根據(jù)至月份的數(shù)據(jù)，求出關于的線性回歸方程；

其中回歸系數(shù)公式，,.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校的一個社會實踐調(diào)查小組，在對該校學生的良好“用眼習慣”的調(diào)查中，隨機發(fā)放了120分問卷.對收回的100份有效問卷進行統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表：

做不到科學用眼

能做到科學用眼

合計

男

45

10

55

女

30

15

45

合計

75

25

100

（1）現(xiàn)按女生是否能做到科學用眼進行分層，從45份女生問卷中抽取了6份問卷，從這6份問卷中再隨機抽取3份，并記其中能做到科學用眼的問卷的份數(shù)，試求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；

（2）若在犯錯誤的概率不超過的前提下認為良好“用眼習慣”與性別有關，那么根據(jù)臨界值表，最精確的的值應為多少？請說明理由.

附：獨立性檢驗統(tǒng)計量，其中.

獨立性檢驗臨界值表：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

1.323

2.072

2.706

3.840

5.024

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】衡陽市為增強市民的環(huán)境保護意識，面向全市征召義務宣傳志愿者，現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機抽取100名后按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場的宣傳活動，則應從第3，4，5組各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的條件下，該市決定在第3，4組的志愿者中隨機抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率．

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【題目】在10名學生中，男生有x名，現(xiàn)從10名學生中任選6人去參加某項活動：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機事件，則x＝( )

A.5B.6C.3或4D.5或6

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