Question

10．半圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），以極點為坐標原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系，直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
（1）求半圓C的標準方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C有且只有2個公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）半圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），即ρ²=4ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程，注意y的取值范圍．直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程．
（2）如圖所示，直線l經(jīng)過點（-2，2）時，即a=6時，直線與圓有兩個交點．當直線與半圓相切時，$\frac{|-4+a|}{\sqrt{5}}$=2，解得a，結合圖形即可得出．

解答 解：（1）半圓C的極坐標方程為ρ=4sinθ（$\frac{π}{4}$＜θ＜$\frac{3π}{4}$），
即ρ²=4ρsinθ，化為x²+y²=4y，平方為x²+（y-2）²=4（2≤y≤4）．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}x=a+\sqrt{2}t\\ y=a+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程：x-2y+a=0．
（2）如圖所示，直線l經(jīng)過點（-2，2）時，即-2-2×2+a=0，
解得a=6時，直線與圓有兩個交點．
當直線與半圓相切時，$\frac{|-4+a|}{\sqrt{5}}$=2，解得a=4$±2\sqrt{5}$，取a=4+2$\sqrt{5}$．
∴當$6≤a＜4+2\sqrt{5}$時，直線l與曲線C有且只有2個公共點．
∴實數(shù)a的取值范圍是$[6，4+2\sqrt{5}）$．

點評 本題考查了極坐標化為直角坐標、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交相切問題、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．