Question

20．已知a，b∈R，求證：a⁴+b⁴≥$\frac{1}{2}$ab（a+b）²．

Answer 1

分析 運用作差比較法，將2（a⁴+b⁴）-ab（a+b）²，展開分組，運用提取公因式和完全平方公式，以及立方差和平方差公式，因式分解，判斷符號，即可得證．

解答 證明：2（a⁴+b⁴）-ab（a+b）²=2（a⁴+b⁴）-ab（a²+2ab+b²）
=（a⁴+b⁴-a³b-ab³）+（a⁴-2a²b²+b⁴）
=[a³（a-b）-b³（a-b）]+（a²-b²）²
=（a-b）（a³-b³）+（a-b）²（a+b）²，
=（a-b）²（a²+ab+b²+a²+2ab+b²）
=（a-b）²（2a²+3ab+2b²），
由（a-b）²≥0，2a²+3ab+2b²=2（a+$\frac{3}{4}$b）²+$\frac{7}{8}$b²≥0，
可得（a-b）²（2a²+3ab+2b²）≥0，
則a⁴+b⁴≥$\frac{1}{2}$ab（a+b）²．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用作差比較法，以及分解因式的方法，運用平方非負數(shù)和配方判斷符號，屬于中檔題．