Question

20．從某小區(qū)隨機(jī)抽取40個(gè)家庭，收集了這40個(gè)家庭去年的月均用水量（單位：噸）的數(shù)據(jù)，整理得到頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖．

分組	頻數(shù)
[2，4）	2
[4，6）	10
[6，8）	16
[8，10）	8
[10，12]	4
合計(jì)	40

（1）求頻率分布直方圖中a，b的值；
（2）從該小區(qū)隨機(jī)選取一個(gè)家庭，試估計(jì)這個(gè)家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；
（3）在這40個(gè)家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個(gè)容量為7的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意選取2個(gè)家庭，求其中恰有一個(gè)家庭的月均用水量不低于8噸的概率．

Answer 1

分析 （1）求出樣本中家庭月均用水量在[4，6）上的頻率為$\frac{10}{40}=0.25$，在[6，8）上的頻率為$\frac{16}{40}=0.4$，即可求頻率分布直方圖中a，b的值；
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表，40個(gè)家庭中月均用水量不低于6噸的家庭共有28個(gè)，求出概率，即可估計(jì)這個(gè)家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率；
（3）利用列舉法確定基本事件，再求出概率．

解答 解：（1）因?yàn)闃颖局屑彝ピ戮�用水量在[4，6）上的頻率為$\frac{10}{40}=0.25$，
在[6，8）上的頻率為$\frac{16}{40}=0.4$，
所以$a=\frac{0.25}{2}=0.125$，$b=\frac{0.4}{2}=0.2$．
（2）根據(jù)頻數(shù)分布表，40個(gè)家庭中月均用水量不低于6噸的家庭共有28個(gè)，
所以樣本中家庭月均用水量不低于6噸的概率是$\frac{28}{40}=0.7$，
利用樣本估計(jì)總體，從該小區(qū)隨機(jī)選取一個(gè)家庭，可估計(jì)這個(gè)家庭去年的月均用水量不低于6噸的概率約為0.7．
（3）在這40個(gè)家庭中，用分層抽樣的方法從月均用水量不低于6噸的家庭里抽取一個(gè)容量為7的樣本，
則在[6，8）上應(yīng)抽取$7×\frac{16}{28}=4$人，記為A，B，C，D，
在[8，10）上應(yīng)抽取$7×\frac{8}{28}=2$人，記為E，F(xiàn)，
在[10，12）上應(yīng)抽取$7×\frac{4}{28}=1$人，記為G．
從中任意選取2個(gè)家庭的所有基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F(xiàn)），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F(xiàn)），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（C，G），（D，E），（D，F(xiàn)），（D，G），（E，F(xiàn)），（E，G），（F，G），共21種．
其中恰有一個(gè)家庭的月均用水量不低于8噸的事件有：（A，E），（A，F(xiàn)），（A，G），（B，E），（B，F(xiàn)），（B，G），（C，E），（C，F(xiàn)），（C，G），（D，E），（D，F(xiàn)），（D，G），共12種．
所以其中恰有一個(gè)家庭的月均用水量不低于8噸的概率為$\frac{12}{21}=\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了頻率分布直方圖，用樣本估計(jì)總體，考查概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是讀懂頻數(shù)分布直方圖和利用統(tǒng)計(jì)圖獲取有關(guān)信息，在解題時(shí)必須認(rèn)真觀察、分析、研究統(tǒng)計(jì)圖．