Question

8．如圖，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB=2，∠ABC=$\frac{π}{3}$．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）若三棱錐P-AEC的體積為1，求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用三角形中位線的來證明線面平行；
（2）在三棱錐中利用等體積法來求點(diǎn)到面的距離；

解答 解：（Ⅰ）證明：如右圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE．
∵點(diǎn)O，E分別為BD，PD的中點(diǎn)，∴OE∥PB．
又PB?平面AEC，OE?平面AEC，∴PB∥平面AEC．  

（Ⅱ）解：V_{三棱錐P-AEC}=V_{三棱錐P-ACD}-V_{三棱錐E-ACD}=$\frac{1}{2}{V_{三棱錐P-ACD}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}\;•\;{S_{△ACD}}\;•\;PA$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×sin\frac{π}{3}\;•\;PA=1$，∴$PA=2\sqrt{3}$．
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，則V_{三棱錐A-PBC}=V_{三棱錐P-ABC}=V_{三棱錐P-ACD}=2．
在Rt△PAB中，$PB=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
在Rt△PAC中，$PC=\sqrt{{2^2}+{{（2\sqrt{3}）}^2}}=4$，
在△PBC中，${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{15}=\sqrt{15}$，∴$\frac{1}{3}\;•\;{S_{△PBC}}\;•\;d=2$，∴$\frac{1}{3}×\sqrt{15}d=2$，∴$d=\frac{2}{5}\sqrt{15}$，
∴點(diǎn)A到平面PBC的距離為$\frac{2}{5}\sqrt{15}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了空間立體幾何體線面平行判定定理、等體積法的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．