Question

【題目】如果項有窮數(shù)列滿足，即，那么稱有窮數(shù)列為“對稱數(shù)列”.例如，由組合數(shù)組成的數(shù)列就是“對稱數(shù)列”.

(1)設數(shù)列是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”,其中成等比數(shù)列,且寫出數(shù)列的每一項；

(2)設數(shù)列是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”，其中是公差為2的等差數(shù)列,且求取得最大值時的取值,并求最大值；

(3)設數(shù)列是項數(shù)為的對稱數(shù)列”,且滿足記為數(shù)列的前項和,若求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）4,2,1，,1,2,4,（2）k＝1010時，S2k﹣1取得最大值2038181；（3）k的最小值為2020．

【解析】

（1）由題意可得：b5＝b3＝1，又b2＝2，可得公比q＝．利用通項公式即可得出．

（2）由題可知c1，c2，…ck是公差為2的等差數(shù)列，因此ck＝c1+2（k﹣1）＝2019，解得c1＝2021﹣2k．可得S2k﹣1＝2×﹣ck，利用二次函數(shù)求最值即可得出．

（3）由題意可得：c1，c2，…ck是單調(diào)遞減數(shù)列，cn+1﹣cn＝﹣2，且ck＝c1﹣2（k﹣1）＝2021﹣2k，S2k﹣1＝2×﹣ck＝2019，化簡求解即可得出．

解：（1）由題意可得：b5＝b3＝1，又b2＝2，∴公比q＝．

∴數(shù)列{bn}的每一項分別為：4，2，1，，1，2，4．

（2）∵c1，c2，…ck是公差為2的等差數(shù)列，∴ck＝c1+2（k﹣1）＝2019，解得c1＝2021﹣2k，

∴S2k﹣1＝2×﹣ck＝4040k﹣2k2-2019=﹣2（k﹣1010）2+2038181．

∴當k＝1010時，S2k﹣1取得最大值2038181．

（3）由題意可得： c1，c2，…ck是單調(diào)遞減數(shù)列，且cn+1﹣cn＝﹣2，n≤k﹣1時，k取得最小值．

∴ck＝c1﹣2（k﹣1）＝2019﹣2（k﹣1）＝2021﹣2k，

S2k﹣1＝2×﹣ck＝4040k﹣2k2﹣2021+2k＝2019，化為：k2﹣2021k+2020＝0，k≥2．

解得k＝2020．

∴k的最小值為2020．