Question

已知函數f（x）=sin²x+

3

sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）當x[-

π

12

，

π

12

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的求值

分析：（1）將函數y=sin²x+sinxcosx化簡為正弦型函數的形式，然后根據正弦型函數求周期的方法易得答案．
（Ⅱ）先求出2x-

π

6

的范圍，再根據三角函數值求出值域．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=sin2x+

3

sinxcosx=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∴T=

2π

2

=π，
故f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

12

，

π

12

]，
∴-

π

3

≤2x-

π

6

≤0，
∴-

3

2

≤sin(2x-

π

6

)≤0
∴

1

2

-

3

2

≤f(x)≤

1

2

，
即f（x）的值域為[

1

2

-

3

2

，

1

2

]

點評：本題考查三角函數的化簡，二倍角公式與兩角和的正弦函數的應用，考查三角函數的周期性及其求法，計算能力．