Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x+1

．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論．
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)增函數(shù)的定義進(jìn)行判斷和證明；
（2）利用（1）的結(jié)論，利用函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

，
∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在[1，4]上是增函數(shù)，
∴最大值f（4）=

2×4+1

4+1

=

9

5

，最小值f（1）=

2×1+1

1+1

=

3

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和最大（小）值，屬于比較基礎(chǔ)題．