Question

12．如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AC=2，D是PA的中點，E是CD的中點，點F在PB上，$\overrightarrow{PF}=3\overrightarrow{FB}$．
（1）證明：EF∥平面ABC；
（2）若∠BAC=60°，求點P到平面BCD的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）法一：過點F作FM∥PA交AB于點M，取AC的中點N，連接MN，EN．證明四邊形MFEN為平行四邊形，推出EF∥MN，然后證明EF∥平面ABC．
法二：取AD中點G，連接GE，GF，推出GE∥AC，GF∥AB，證明平面GEF∥平面ABC，然后證明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）證明BC⊥平面PAB．求出${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC\;•\;BD=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．記點P到平面BCD的距離為d，通過V_P-BCD=V_C-PBD，轉(zhuǎn)化求解點P到平面BCD的距離即可．

解答 （本小題滿分12分）
（Ⅰ）證明：法一：如圖，過點F作FM∥PA交AB于點M，
取AC的中點N，連接MN，EN．
∵點E為CD的中點，∴EN$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$．又PF=3FB，∴MF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，∴FM$\stackrel{∥}{=}$EN，
所以四邊形MFEN為平行四邊形，
∴EF∥MN，∵EF?平面ABC，MN?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．…（6分）

法二：如圖，取AD中點G，連接GE，GF，則GE∥AC，GF∥AB，
因為GE∩GF=G，AC∩AB=A，所以平面GEF∥平面ABC，
所以EF∥平面ABC．…（6分）

（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，AB∩PA=A，
∴BC⊥平面PAB．
又∠BAC=60°，AC=2，∴$AB=1，\;\;BC=\sqrt{3}，\;\;BD=\sqrt{2}$，
∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC\;•\;BD=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$．
記點P到平面BCD的距離為d，則V_P-BCD=V_C-PBD，∴$\frac{1}{3}{S_{△BCD}}\;•\;d=\frac{1}{3}{S_{△PBD}}\;•\;BC$，
∴$\frac{{\sqrt{6}}}{2}\;•\;d=\frac{1}{2}PD\;•\;AB\;•\;BC⇒d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以，點P到平面BCD的距離為$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．      …（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，點線面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．