Question

【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行了調(diào)查，通過(guò)抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求直方圖中的a值；
（2）設(shè)該市有30萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)．說(shuō)明理由；
（3）估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵1=（0.08+0.16+a+0.42+0.50+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，

∴解得：a=0.3．

（2）

解：估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為3.6萬(wàn)，理由如下：

由已知中的頻率分布直方圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，

又樣本容量=30萬(wàn)，

則樣本中月均用水量不低于3噸的戶(hù)數(shù)為30×0.12=3.6萬(wàn)

（3）

解：根據(jù)頻率分布直方圖，得；

0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，

0.48+0.5×0.5=0.73＞0.5，

設(shè)中位數(shù)為a，則中位數(shù)a=2+ =2.04

【解析】（1）先根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率等于縱坐標(biāo)乘以組距求出9個(gè)矩形的面積即頻率，再根據(jù)直方圖的總頻率為1求出a的值；（II）根據(jù)已知中的頻率分布直方圖先求出月均用水量不低于3噸的頻率，結(jié)合樣本容量為30萬(wàn)，進(jìn)而得解．（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，求出使直方圖中左右兩邊頻率相等對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的值；本題用樣本估計(jì)總體，是研究統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的一個(gè)基本思想方法．頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形的面積=組距× ，各個(gè)矩形面積之和等于1，能根據(jù)直方圖求眾數(shù)和中位數(shù)，屬于常規(guī)題型．
【考點(diǎn)精析】掌握頻率分布直方圖和平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是解答本題的根本，需要知道頻率分布表和頻率分布直方圖，是對(duì)相同數(shù)據(jù)的兩種不同表達(dá)方式.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式和構(gòu)成形式，可展示數(shù)據(jù)的分布情況.通過(guò)作圖既可以從數(shù)據(jù)中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；⑴平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的量；⑵平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)都有單位；⑶平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，與這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)都有關(guān)系，所以最為重要，應(yīng)用最廣；⑷中位數(shù)不受個(gè)別偏大或偏小數(shù)據(jù)的影響；⑸眾數(shù)與各組數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)有關(guān)，不受個(gè)別數(shù)據(jù)的影響，有時(shí)是我們最為關(guān)心的數(shù)據(jù)．