Question

12．下列各式中最小值為2的是（　�。�

• A． $\frac{{{x^2}+5}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$
• B． $\frac{a}$+$\frac{a}$
• C． 2^x+$\frac{1}{2^x}$
• D． cosx+$\frac{1}{cosx}$

Answer 1

分析 選項A：因為當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+4}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$即x²=-3時取等，顯然x無解，所以不能取等，A不正確；
選項B：ab＜0時，其最小值小于0，B不正確；
選項C：${2^x}＞0∴{2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取“=”，C正確．
選項D：cos＜0時，其最小值小于0，D不正確．

解答 解：由題意，
A：$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}+\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{{x}^{2}+4}=\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$即x²=-3時取“=“，顯然x無實數(shù)解，所以A不正確；
B：若ab＜0時，則$\frac{a}＜0，\frac{a}＜0$，即$\frac{a}+\frac{a}$＜0，所以B不正確；
C：∵${2^x}＞0∴{2^x}+\frac{1}{2^x}≥2$，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，取“=”，所以C正確．
D：當(dāng)cos＜0時，其最小值小于0，所以D不正確．
故選：C．

點評 本題考查均值不等式，關(guān)鍵在于取等條件的判斷，本題運用了綜合法以及整體思想等，難度中上．