Question

17．在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OM的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ．
（Ⅰ）求射線OM的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）已知直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin（θ+$\frac{π}{3}$）=3$\sqrt{3}$，射線OM與曲線C的交點(diǎn)為O、P，與直線l的交點(diǎn)為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）射線OM的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0），化為普通方程：y=$\sqrt{3}$x，可知：射線OM與x軸的正半軸成60°的角，即可得出射線OM的極坐標(biāo)方程．
（II）設(shè)P（ρ₁，θ₁），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得P的極坐標(biāo)．同理可得Q的極坐標(biāo)，即可得出．

解答 解：（I）射線OM的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，t≥0），化為普通方程：y=$\sqrt{3}$x，可知：射線OM與x軸的正半軸成60°的角，
可得：射線OM的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{3}$．
（II）設(shè)P（ρ₁，θ₁），由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=1}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．
設(shè)Q（ρ₂，θ₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（si{n}_{{θ}_{2}}+\sqrt{3}cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}=3}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$．
∴θ₁=θ₂，|PQ|=ρ₂-ρ₁=2．

點(diǎn)評 本題考查了極坐標(biāo)方程方程的應(yīng)用、曲線的交點(diǎn)、參數(shù)方程化為普通房方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．