Question

5．動直線y=kx+4-3k與函數(shù)$f（x）=\frac{4x-11}{x-3}$的圖象交于A、B兩點，點P（x，y）是平面上的動點，滿足$|{\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}}|=2$，則x²+y²的取值范圍為[16，36]．

Answer 1

分析 確定P的軌跡方程，即可得出結(jié)論．

解答 解：y=k（x-3）+4  必經(jīng)過點Q （3，4）是以新原點O'（3，4）坐標(biāo)下的y'=kx'
$f（x）=\frac{4x-11}{x-3}$是以新原點O'（3，4）坐標(biāo)下的x'y′1
所以交點A，B為新原點O'下的A（$\frac{1}{\sqrt{k}}$，$\sqrt{k}$），B（-$\frac{1}{\sqrt{k}}$，-$\sqrt{k}$）
PA=（$\frac{1}{\sqrt{k}}$-m）+（$\sqrt{k}$-n）i
PB=（-$\frac{1}{\sqrt{k}}$-m）+（-$\sqrt{k}$-n）i
|PA+PB|=|-2m-2ni|=2
|m+ni|=1
即m²+n²=1 是一個圓，即P的軌跡是以（3，4）為圓心的單位圓，
∴x²+y²的取值范圍為[16，36]，
故答案為[16，36]．

點評 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計算能力，確定P的軌跡方程是關(guān)鍵．