Question

14．已知a∈（$\frac{2}{3}$，1），函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b，x∈[-1，1]，f（x）${\;}_{{\;}_{min}}$=1，f（x）_max=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求a，b的值．

Answer 1

分析 求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點，求出極值和端點的函數(shù)值，比較可得f（0）最大，f（-1）最小，解方程可得a，b的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=x³-$\frac{3}{2}$ax²+b的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-3ax=3x（x-a），
由f′（x）=0，可得x=0或a，
由f（0）=b，f（a）=b-$\frac{1}{2}$a³，f（-1）=-1-$\frac{3}{2}$a+b，f（1）=1-$\frac{3}{2}$a+b，
由a∈（$\frac{2}{3}$，1），可得f（0）＞f（1），f（-1）＜f（1），f（0）＞f（a），
則f（0）為最大值，且為b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
由$\frac{2}{3}$＜a＜1，可得f（-1）-f（a）=$\frac{1}{2}$a³-1-$\frac{3}{2}$a＜0，
則f（-1）＜f（a），即有f（-1）為最小值，即為-1-$\frac{3}{2}$a+$\frac{\sqrt{6}}{2}$=-1，
解得a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
綜上可得，a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用導(dǎo)數(shù)，求出極值和端點的函數(shù)值，考查運算能力，屬于中檔題．