Question

9．設(shè)M，N是拋物線C：y²=2px（p＞0）上任意兩點，點E的坐標為（-λ，0）（λ≥0），若$\overrightarrow{EM}$$•\overrightarrow{EN}$的最小值為0，則λ=$\frac{1}{2}$p．

Answer 1

分析 利用數(shù)量積公式，結(jié)合配方法、$\overrightarrow{EM}$$•\overrightarrow{EN}$的最小值為0，即可求出λ．

解答 解：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則
$\overrightarrow{EM}$$•\overrightarrow{EN}$=（x₁+λ，y₁）•（x₂+λ，y₂）=x₁x₂+λ（x₁+x₂）+λ²+y₁y₂=$[\frac{{y}_{1}{y}_{2}+2p（p-λ）}{2p}]^{2}$+$\frac{λ（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{2p}$-p²+2λp，
∵$\overrightarrow{EM}$$•\overrightarrow{EN}$的最小值為0，
∴-p²+2λp=0，
∴λ=$\frac{1}{2}$p．
故答案為：$\frac{1}{2}$p．

點評 本題考查拋物線的方程，考查數(shù)量積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．