Question

已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA=

3

，AB=1，AD=2，∠BAD=120°，E，G，H分別是BC，PC，AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PH∥平面GED；
（Ⅱ）求證：平面PAE⊥平面PDE；
（Ⅲ）求三棱錐P-GED的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：計(jì)算題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接HC，交ED于點(diǎn)N，連結(jié)GN，（Ⅱ）連接AE，EH，由DE⊥平面PAE證明平面PAE⊥平面PDE；（Ⅲ）利用體積轉(zhuǎn)化：V_P-GED=V_E-PGD=V_E-CDG=

1

2

V_P-CED．

解答： 解：（Ⅰ）連接HC，交ED于點(diǎn)N，連結(jié)GN，由條件得DHEC是平行四邊形，
所以N是線段HC的中點(diǎn)，又G是PC的中點(diǎn)，所以GN∥PH．
又∵GN?平面GED，PH?平面GED內(nèi)，
所以PH∥平面GED．
（Ⅱ）連接AE，EH，
∵在平行四邊形ABCD中，∠BAD=120°，點(diǎn)E，H分別為BC，AD的中點(diǎn)，AB=1，AD=2，
∴四邊形ECDH為菱形，AE∥CH，
∴DE⊥CH，
∴AE⊥DE．
∵PA⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，
∴PA⊥DE，
∵PA∩AE=A，
∴DE⊥平面PAE，
∵DE?平面PDE，
∴平面PAE⊥平面PDE．
（Ⅲ）V_P-GED=V_E-PGD=V_E-CDG=

1

2

V_P-CED，
S△CED=

3

4

，三棱錐P-CED的高為PA=

3

，
∴V_P-GED=

1

2

V_P-CED=

1

2

×

1

3

×

3

4

×

3

=

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬于中檔題．