Question

【題目】已知函數．

（1）若曲線在點處的切線方程為，求的值；

（2）當時，求證：；

（3）設函數，其中為實常數，試討論函數的零點個數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）見解析；（3）見解析

【解析】

（1）根據導數的意義可知，解得切點；

（2）將所證明不等式轉化為證明恒成立，設，利用導數證明；

（3）等價于，等價于，且，令，利用導數分析函數的性質，可知函數的極小值0，極大值，討論當，，，時，結合零點存在性定理確定零點的個數.

（1）．所以過點的切線方程為，所以，

解得或．

（2）證明：即證，因為，所以即證，

設，則．

令，解得．

		4
	-	0	+
	減	極小	增

所以 當時，取得最小值．

所以當時，．

（3）解：等價于，等價于，且．

令，則．

令，得或，

		1
	-	0	+	0	-
	減	極小0	增	極大	減

（Ⅰ）當時，，所以無零點，即定義域內無零點

（Ⅱ）當即時，若，因為，

，所以在只有一個零點，

而當時，，所以只有一個零點；

（Ⅲ）當即時，由（Ⅱ）知在只有一個零點，且當時，，所以恰好有兩個零點；

（Ⅳ）當即時，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在只有一個零點，在只有一個零點，在時，因為，

只要比較與的大小，即只要比較與的大小，

令，

因為，因為，所以，

所以，

即，所以，即在也只有一解，所以有三個零點；

綜上所述：當時，函數的零點個數為0； 當時，函數的零點個數為1；當時，函數的零點個數為2；當時，函數的零點個數為3．