Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，x²≥0”的否定是“?x∈R，x²≤0”；
②線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)隨機(jī)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)；
③若a，b∈[0，1]，則不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率是

π

4

；
④函數(shù)y=log₂（x²-ax+2）在[2，+∞）上恒為正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，

5

2

）．
其中真命題的是（　�。�

• A、①②
• B、②④
• C、②③④
• D、②③

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①按照全稱命題的否定方法判斷即可；
②線性相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1，1]，絕對(duì)值越大，相關(guān)性越強(qiáng)，以此判斷；
③這是一個(gè)幾何概型問題，用面積比求概率；
④只需函數(shù)y=x²-ax+2在[2，+∞）上的最小值大于1即可，然后從函數(shù)的單調(diào)性入手分析即可．

解答： 解：對(duì)于①，命題“?x∈R，x²≥0”的否定為“?x∈R，x²＜0”，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，根據(jù)線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，越接近于1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，一般的，我們認(rèn)為，當(dāng)絕對(duì)值大于0.75時(shí)，我們說兩個(gè)隨機(jī)變量具有很強(qiáng)的相關(guān)性，故②正確；
對(duì)于③，這是一個(gè)幾何概型，由點(diǎn)（a，b）圍成的區(qū)域?yàn)橹本�x=0，y=0，x=1，y=1圍成的正方形，面積為1，而a²+b²＜

1

4

表示的是圓心為（0，0），半徑為

1

2

的圓在第一象限的部分，面積為

π

16

，所以該不等式成立的概率為

π

16

．故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，由題意得x²-ax+2＞1在[2，+∞）上恒成立，即a＜

x2+1

x

=x+

1

x

在[2，+∞）上恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)y=x+

1

x

在2，+∞）是增函數(shù)，所以a＜ymin=2+

1

2

=

5

2

即為所求，故④正確．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題借助于簡(jiǎn)易邏輯考查了全稱命題的否定、幾何概率的求法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷等問題，屬于基礎(chǔ)題．