Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+$\sqrt{2}$=0相切．A，B是橢圓C的右頂點與上頂點，直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）當四邊形AEBF面積取最大值時，求k的值．

Answer 1

分析 （1）橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+$\sqrt{2}$=0相切，則根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列出方程，再根據(jù)離心率求出a=2，即得橢圓的標準方程．
（2）將四邊形的面積AEBF視為△ABE和△ABF的和，這兩個三角形底邊都是丨AB丨，高分別是點E、F到直線AB的距離．根據(jù)點到直線的距離公式列出四邊形面積關于k的表達式，再根據(jù)k的范圍求解出表達式的最大值．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，則a²=4b²，
又圓x²+y²=b²與直線x+y+$\sqrt{2}$=0相切，
則b=$\frac{丨0+0+\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}}$=1，a²=4，
故所求橢圓C的方程為${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；（4分）
（2）設E（，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），其中x₁＜x₂，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$整理得：（k²+4）x²=4，…（5分）
故x₁=-x₂=$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+4}}$．①…（6分）
又點E，F(xiàn)到直線AB的距離分別為h₁=$\frac{丨2{x}_{1}+k{x}_{1}-2丨}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（2+k+\sqrt{{k}^{2}+4}）}{\sqrt{5（{k}^{2}+4）}}$，…（7分）
h₂=$\frac{丨2{x}_{2}+k{x}_{2}-2丨}{\sqrt{5}}$=$\frac{2（2+k-\sqrt{{k}^{2}+4}）}{\sqrt{5（{k}^{2}+4）}}$，
丨AB丨=$\sqrt{5}$，…（8分）
∴四邊形AEBF的面積為S=$\frac{1}{2}$丨AB丨（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\frac{4（2+k）}{\sqrt{5（{k}^{2}+4）}}$=$\frac{2（2+k）}{\sqrt{{k}^{2}+4}}$，…（10分）
=2$\sqrt{\frac{4+{k}^{2}+4k}{{k}^{2}+4}}$=2$\sqrt{1+\frac{4k}{{k}^{2}+4}}$=2$\sqrt{1+\frac{4}{k+\frac{4}{k}}}$≤2$\sqrt{1+\frac{4}{2\sqrt{k×\frac{4}{k}}}}$=2$\sqrt{2}$，
當k=$\frac{4}{k}$，（k＞0），即當k=2時，上式取等號．
∴當四邊形AEBF面積的最大值時，k的值為2．（12分）

點評 本題考查的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，考查點到直線的距離公式及基本不等式的應用，考查計算能力，由中檔題．