Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（4-a）x+3（x≤6）}\\{{a^{x-5}}（x＞6）}\end{array}}$，
（1）當(dāng)a=2時(shí)，若f（x）=1則x=1；
（2）若數(shù)列{a_n}，a_n=f（n）（n∈N^*），且數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（3，4）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)分段函數(shù)的特點(diǎn)，代值計(jì)算即可．
（2）解答時(shí)可以先根據(jù)題意寫出數(shù)列通項(xiàng)公式的分段函數(shù)形式；然后由于數(shù)列是遞增的即可獲得兩個(gè)條件即：對(duì)應(yīng)等差數(shù)列通項(xiàng)n的系數(shù)大于零和a₇＞a₆．由此即可獲得解答．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，若f（x）=1，
則$\left\{\begin{array}{l}{2x+3=1}\\{x≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-5}=1}\\{x＞6}\end{array}\right.$，
解得x=-1；
（2）∵數(shù)列{a_n}，a_n=f（n）（n∈N^*），且數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-a＞0}\\{a＞1}\\{6（4-a）+3＜{a}^{2}}\end{array}\right.$，
解得3＜a＜4，
∴a的范圍為（3，4）
故答案為：-1，（3，4）

點(diǎn)評(píng) 此題考查的是分段函數(shù)與數(shù)列的綜合問題．在解答過程當(dāng)中等差數(shù)列的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性以及分段函數(shù)的知識(shí)都得到了充分的體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)反思．