Question

設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…
（1）當(dāng)a₁=2時(shí)，求a₂，a₃，a₄并由此猜測(cè)a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)a₁≥3時(shí)，證明對(duì)所的n≥1，有
①a_n≥n+2
②

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理和數(shù)學(xué)歸納法．
（1）由列{a_n}滿足：a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…及a₁=2，我們易得到a₂，a₃，a₄的值，歸納數(shù)列中每一項(xiàng)的值與序號(hào)的關(guān)系，我們可以歸納推理出a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式．
（2）①a_n≥n+2的證明可以使用數(shù)學(xué)歸納法，先證明n=1時(shí)不等式成立，再假設(shè)n=k時(shí)不等式成立，進(jìn)而論證n=k+1時(shí)，不等式依然成立，最終得到不等式a_n≥n+2恒成立．②的證明用數(shù)學(xué)歸納法比較復(fù)雜，觀察到不等式的結(jié)構(gòu)形式，可采用放縮法進(jìn)行證明．
解答：解（1）由a₁=2，得a₂=a₁²-a₁+1=3
由a₂=3，得a₃=a₂²-2a₂+1=4
由a₃=4，得a₄=a₃²-3a₃+1=5
由此猜想a_n的一個(gè)通項(xiàng)公式：a_n=n+1（n≥1）
（2）（i）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，a₁≥3=1+2，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，即a_k≥k+2，那么a_k+1=a_k（a_k-k）+1≥（k+2）（k+2-k）+1=2k+5≥k+3．
也就是說，當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1≥（k+1）+2
據(jù)①和②，對(duì)于所有n≥1，有a_n≥n+2．
（ii）由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及（i），對(duì)k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
a_k≥2^k-1a₁+2^k-2++2+1=2^k-1（a₁+1）-1
于是，k≥2
點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．但歸納推理的結(jié)論不一定正確，我們要利用數(shù)學(xué)歸納法等方法對(duì)歸納的結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步的論證．