Question

20．對于函數(shù)y=f（x），任意x∈R，均有f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=x．
（1）當(dāng)x∈（2，4]時，求f（x）的解析式；
（2）若f（m）=1，求m的值；
（3）求和：f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）．

Answer 1

分析 （1）先判斷函數(shù)為周期函數(shù)，即可求出f（x）的解析式，
（2）根據(jù)函數(shù)值，代值計算即可，
（3）由于函數(shù)為周期函數(shù)，求出一個周期的和，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）．

解答 解：（1）任意x∈R，均有f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
設(shè)x∈（2，4]時，則x-2∈[0，2]，
∵當(dāng)x∈（0，2]時，f（x）=x，
∴f（x-2+2）=$\frac{1}{f（x-2）}$=f（x）
∴f（x-2）=$\frac{1}{f（x）}$=x-2，
∴f（x）=$\frac{1}{x-2}$；
（2）∵f（m）=1，
∴m=1，或$\frac{1}{m-2}$=1，
即m=1或m=3，
（3）∵f（2）=2，f（1）=f（3）=1，f（4）=$\frac{1}{2}$
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=$\frac{9}{2}$，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=503×$\frac{9}{2}$+f（1）+f（2）+f（3）=$\frac{4535}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性，函數(shù)的解析式的求法，以及函數(shù)值，周期的應(yīng)用，屬于中檔題．