Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=（sinx﹣cosx）2+ sin（2x+ ）（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間；
（2）若f（α）= ，α∈（ ， ），求cos（2α+ ）．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)f（x）=（sinx﹣cosx）2+ sin（2x+ ）=1﹣sin2x﹣ cos2x=1﹣2（ sin2x+ cos2x）=1﹣2sin（2x+ ），

令2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ，求得kπ﹣ ≤x≤kπ+ ，可得函數(shù)的減區(qū)間為[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z．

（2）解：∵f（α）= ，α∈（ ， ），∴1﹣2sin（2α+ ）= ，∴sin（2α+ ）= ，

根據(jù)2α+ ∈（ ， ），可得cos（2α+ ）=﹣ =﹣ ．

故cos（2α+ ）=cos[（2α+ ）+ ]=cos（2α+ ）cos ﹣sin（2α+ ）sin =﹣ ﹣ =﹣ ．

【解析】1、由兩角和差的正弦公式可化簡f（x）的解析式為f（x）=1﹣2sin（2x+ ）整體思想可得函數(shù)的減區(qū)間。
2、由已知可得sin（2α+ ）= 整體思想可得cos（2α+ ）=-再由拼湊法可得cos（2α+ ）=cos[（2α+ ）+ ]求得結(jié)果。
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性，掌握正弦函數(shù)的單調(diào)性：在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)即可以解答此題．