Question

已知三棱錐A-BCD，三組對(duì)棱兩兩相等，且AB=CD=1，AD=BC=

3

，若三棱錐A-BCD的外接球表面積為

9π

2

．則AC=

5

．

Answer 1

分析：由四面體A-BCD相對(duì)的棱長(zhǎng)度相等，將其放置于長(zhǎng)方體中，如圖所示．該長(zhǎng)方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球，長(zhǎng)方體的對(duì)角線是球的直徑．根據(jù)四面體外接球的表面積算出外接球的半徑長(zhǎng)，再利用長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)公式結(jié)合題中數(shù)據(jù)加以計(jì)算，即可得出AC的長(zhǎng)度．

解答：解：將四面體A-BCD放置于長(zhǎng)方體中，如圖所示．
∵四面體A-BCD的頂點(diǎn)為長(zhǎng)方體八個(gè)頂點(diǎn)中的四個(gè)，
∴長(zhǎng)方體的外接球就是四面體A-BCD的外接球，
∵AB=CD=1，AD=BC=

3

，且三組對(duì)棱兩兩相等，
∴設(shè)AC=BD=x，得長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為

1 2 [12+( 3 )2+x2]

=

1 2 (4+x2)

，
可得外接球的直徑2R=

1 2 (4+x2)

，所以R=

2(4+x2)

4

∵三棱錐A-BCD的外接球表面積為

9π

2

，
∴4πR²=

9π

2

，解得R=

3 2

4

，即

2(4+x2)

4

=

3 2

4

，解之得x=

5

因即AC=BD=

5

．
故答案為：

5

點(diǎn)評(píng)：本題給出相對(duì)棱長(zhǎng)相等的四面體，求在已知外接球的表面積情況下求棱AC長(zhǎng)．著重考查了長(zhǎng)方體的性質(zhì)、長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)公式和球的表面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．