Question

10．如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=2，E為邊AB的中點，將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A₁DE，若M為線段A₁C的中點，則在△ADE翻轉(zhuǎn)過程中，對于下列說法：
①|(zhì)CA|≥|CA₁|．
②若點A₁在平面ABCD的射影為O，則點O在∠BAD的平分線上．
③一定存在某個位置，使DE⊥AC₁
④若$|{C{A_1}}|=\sqrt{3}$，則平面A₁DE⊥平面ABCD
其中正確的說法是①②④．

Answer 1

分析 對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①由將△ADE沿直線DE翻轉(zhuǎn)成△A₁DE，可得|CA|≥|CA₁|，正確．
②若點A₁在平面ABCD的射影為O，作A₁F⊥DE，連接AF，OF，則AF⊥DE，OF⊥DE，則點O在DE的高線上，點O在∠BAD的平分線上，正確．
③∵A₁C在平面ABCD中的射影為OC，OC與DE不垂直，
∴存在某個位置，使DE⊥A₁C不正確，故③不正確；
④若$|{C{A_1}}|=\sqrt{3}$，則∵|A₁F|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|CF|=$\sqrt{4+\frac{1}{2}-2×2×\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{5}{2}}$，∴$|{A}_{1}F{|}^{2}+|CF{|}^{2}$=$|C{A}_{1}{|}^{2}$，
∴A₁F⊥CF，∵A₁F⊥DE，∴A₁F⊥平面ABCD，∴平面A₁DE⊥平面ABCD，正確．
故答案為①②④．

點評 掌握線面平行，面面垂直的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．