Question

一系列橢圓都以一定直線l為準(zhǔn)線，所有橢圓的中心都在定點(diǎn)M，且點(diǎn)M到l的距離為2，若這一系列橢圓的離心率組成以

3

4

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，而橢圓相應(yīng)的長半軸長為a_i（i=1，2，…，n），則a₁+a₂+…+a_n=（　�。�

• A．

  9

  4

  [1-(

  2

  3

  )n-1]
• B．

  9

  4

  [1-(

  1

  3

  )n-1]
• C．

  9

  4

  [1-(

  2

  3

  )n]
• D．

  9

  4

  [1-(

  1

  3

  )n]

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的離心率組成以

3

4

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，得出

cn

an

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，又點(diǎn)M到l的距離為2，得到

an

2

=

cn

an

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，最后利用等比數(shù)列的求和公式求和即得．

解答：解：∵橢圓的離心率組成以

3

4

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
∴

cn

an

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，
又點(diǎn)M到l的距離為2，
∴

a 2 n

cn

=2，
∴

an

2

=

cn

an

，
∴

an

2

=

3

4

•（

1

3

）^n-1，
∴a₁+a₂+…+a_n=

3 2 [1-( 1 3 )  n]

1- 1 3

=

9

4

[1-(

1

3

)n]．
故選D．

點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、等比數(shù)列的應(yīng)用、橢圓的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．