Question

（2013•蘭州一模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°
（Ⅰ）求證：BD⊥PC；
（Ⅱ）若PA=AB，求二面角A-PD-B的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由菱形的性質(zhì)，得AC⊥BD，由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD．結(jié)合線面垂直判定定理得BD⊥平面PAC，從而得到BD⊥PC；
（II）過點B作BM⊥AD于M，則BM⊥平面PAD．然后在平面PAD內(nèi)過M作MN⊥PD于N，連BN，可得PD⊥平面BMN，結(jié)合二面角平面角的定義，得到∠BNM為二面角A-PD-B的平面角．再利用解直角三角形的知識，Rt△BMN中算出MN、BN的長，可得cos∠BNM=

MN

BN

=

7

7

，即可得到PA=AB時二面角A-PD-B的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD．
又∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC…（6分）
（Ⅱ）依題意，知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD與平面ABCD的交線為AD，
過點B作BM⊥AD，垂足為M，則BM⊥平面PAD．
在平面PAD內(nèi)過M作MN⊥PD，垂足為N，連BN，
則PD⊥平面BMN，
∴∠BNM為二面角A-PD-B的平面角．…（9分）
∵AB=AD，∠BAD=60°，
∴BM=

3

2

AB=

3

，DM=1．…（10分）
又∵PA=AB，得MN=

2

2

，∴BN=

14

2

．…（11分）
∴Rt△BMN中，cos∠BNM=

MN

BN

=

2 2

14 2

=

7

7

．
即二面角A-PD-B的余弦值為

7

7

．…（12分）

點評：本題在三棱錐中求證線線垂直，并求二面角的大小．著重考查了空間線面垂直的判定與性質(zhì)、二面角平面角的作法和解三角形有關系知識，屬于中檔題．