Question

已知數(shù)列{a_n}，如果數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b_n=a_n+a_n-1（n≥2，n∈N^*），則稱數(shù)列{b_n}是數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”．
（1）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n=n，寫出數(shù)列{a_n}的“生成數(shù)列”{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)為c_n=2n+b（其中b是常數(shù)），試問數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}是否是等差數(shù)列，請說明理由；
（3）已知數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)為d_n=2ⁿ+n，求數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+a_n-1，即可得出；
（2）當(dāng)b=0時(shí)，q_n=4n-2，此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}是等差數(shù)列，當(dāng)b≠0時(shí)，由于q₁=c₁=2+b，q₂=6+2b，q₃=10+2b．此時(shí)q₂-q₁≠q₃-q₂，即可判斷出“生成數(shù)列”{q_n}不是等差數(shù)列．
（3）p₁=d₁=3，n≥2時(shí)，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+2^n-1+（n-1）=3×2^n-1+2n-1，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n選和公式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=a_n+a_n-1=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=a₁=1適合上式，
∴b_n=2n-1．
（2）當(dāng)b=0時(shí)，q_n=4n-2，
由于q_n+1-q_n=4，
∴此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}是等差數(shù)列，
當(dāng)b≠0時(shí)，由于q₁=c₁=2+b，q₂=6+2b，q₃=10+2b．
此時(shí)q₂-q₁≠q₃-q₂，
此時(shí)數(shù)列{c_n}的“生成數(shù)列”{q_n}不是等差數(shù)列．
（3）p₁=d₁=3，
n≥2時(shí)，p_n=d_n+d_n-1=2ⁿ+n+2^n-1+（n-1）=3×2^n-1+2n-1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，數(shù)列{d_n}的“生成數(shù)列”{p_n}的前n項(xiàng)和T_n=3+

6(2n-1-1)

2-1

+

(n-1)(3+2n-1)

2

=3×2ⁿ+n²-4．
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
∴T_n=3×2ⁿ+n²-4．

點(diǎn)評：本題考查了新定義“生成數(shù)列”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．