4.已知a,b∈[0,1],則S(a,b)=$\frac{a}{1+b}$+$\frac{1+a}$+(1-a)(1-b)的最小值為$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$.

分析 S(a,b)=1-$\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)}$,令T=$\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)}$,X=$\sqrt{ab}$,則T=f(X)=$\frac{{x}^{2}(1-X)}{1+x}$,X∈[0,1],利用導數(shù)法,求出函數(shù)的最值,可得答案.

解答 解:∵a,b∈[0,1],
∴S(a,b)=$\frac{a}{1+b}$+$\frac{1+a}$+(1-a)(1-b)=1-$\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)}$,
令T=$\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)}$,X=$\sqrt{ab}$,
則T=$\frac{ab(1-ab)}{(1+a)(1+b)}$=$\frac{ab(1-ab)}{1+a+b+ab}$<$\frac{ab(1-ab)}{1+2\sqrt{ab}+ab}$=$\frac{{X}^{2}(1-{X}^{2})}{(1+X)^{2}}$=$\frac{{x}^{2}(1-X)}{1+x}$,
令f(X)=$\frac{{x}^{2}(1-X)}{1+x}$,X∈[0,1],
可得:f′(X)=$\frac{{-2X}^{\;}({X}^{2}+X-1)}{{(1+X)}^{2}}$,X∈[0,1],
X∈[0,$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)時,f′(X)>0,
X∈($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,1]時,f′(X)<0,
故當X=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$時,f(X)取最大值$\frac{5\sqrt{5}-11}{2}$,
故S(a,b)=$\frac{a}{1+b}$+$\frac{1+a}$+(1-a)(1-b)的最小值為1-$\frac{5\sqrt{5}-11}{2}$=$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$,
故答案為:$\frac{13-5\sqrt{5}}{2}$

點評 本題考查的知識點是導數(shù)在求函數(shù)最值中的應用,構造法,轉化思想,函數(shù)的最值及其幾何意義,難度較大.

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