Question

19．若函數(shù)f（x）=x²-x+c，滿足|x-a|＜1．
（Ⅰ）若x∈（-1，1），不等式|x-a|＜1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍構(gòu)成的集合；
（Ⅱ）求證：|f（x）-f（a）|＜2|a|+2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先解絕對值不等式，再根據(jù)集合之間的關(guān)系即可求出a的范圍
（Ⅱ）化簡|f（x）-f（a）|為|x-a||x+a-1|，小于|x+a-1|即|（x-a）+（2a-1）|．再由|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1，從而證得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵|x-a|＜1，
∴a-1＜x＜a+1，
∵x∈（-1，1），不等式|x-a|＜1恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$，
解得a=0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍構(gòu)成的集合{0}
（Ⅱ）證明：∵函數(shù)f（x）=x²-x+c，實(shí)數(shù)a滿足|x-a|＜1，
∴|f（x）-f（a）|=|x²-x+c-（a²-a+c）|=|x-a||x+a-1|＜|x+a-1|
=|（x-a）+（2a-1）|≤|x-a|+|2a-1|＜1+2|a|+1=2（|a|+1），
即|f（x）-f（a）|＜2（|a|+1）成立．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的性質(zhì)的應(yīng)用以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．