Question

球與圓臺(tái)的上下底面及側(cè)面都相切，且球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3：4，則球的體積與圓臺(tái)的體積之比為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：設(shè)球半徑為R，圓臺(tái)上底半徑為r，圓臺(tái)下底半徑為r′，因?yàn)榍蚺c圓臺(tái)上下側(cè)面都相切，所以圓臺(tái)側(cè)面長(zhǎng)l=r+r′，結(jié)合已知求出r，r′，R之間的關(guān)系式，代入球的體積公式和圓臺(tái)的體積公式，可得答案．

解答： 解：設(shè)球半徑為R，圓臺(tái)上底半徑為r，圓臺(tái)下底半徑為r′，
因?yàn)榍蚺c圓臺(tái)上下側(cè)面都相切，所以圓臺(tái)側(cè)面長(zhǎng)l=r+r′，
又∵球面面積與圓臺(tái)的側(cè)面積之比為3：4，
∴π﹙r+r′﹚²：4πR²=4：3①
﹙r′-r﹚²+﹙2R﹚²=﹙r+r′﹚²②
解之r′=3r，則R=

3

r，
V_球=

4

3

πR³=

12 3 π

3

r3，
V_臺(tái)=

1

3

π（r²+r′²+rr′）2R=

26 3 π

3

r3，
V_球：V_臺(tái)=6：13．
故答案為：6：13

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握?qǐng)A臺(tái)和球的表面積公式和體積公式，是解答的關(guān)鍵．