Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx

x+1

．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，+∞）（t∈N⁺）上存在極值，求t的最大值；
（Ⅱ）設(shè)a_n=f（n）（n∈N^*）；
（1）問數(shù)列{a_n}中是否存在a_s=a_t（s≠t）？若存在，求出所有相等的兩項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（2）若b_n=（n+1）a_n，求證：

n

k=2

1

k

＜b_n＜

n-1

k=1

1

k

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)f′（x）=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

，則由題意知，令g（x）=1+

1

x

-lnx=0，則方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N⁺）上有解．從而判斷解得位置即可；
（Ⅱ）（1）由題意．a(chǎn)_n=f（n）=

lnn

n+1

，從而可得a₁＜a₂＜a₃，a₄＞a₅＞a₆＞…；從而找相等即可；
（2）構(gòu)造函數(shù)并可判斷1-

1

x

＜lnx＜x-1，（x＞0）；從而得到1-

x

y

＜ln

y

x

＜

y

x

-1（x＞0，y＞0），從而證明．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1+ 1 x -lnx

(x+1)2

，
由于函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，+∞）（t∈N⁺）上存在極值，
令g（x）=1+

1

x

-lnx=0，則方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N⁺）上有解．
g′（x）=-

1

x2

-

1

x

＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
又g（3）=

4

3

-ln3＞0，g（4）=

5

4

-ln4＜0；
∴函數(shù)g（x）的零點(diǎn)x=x₀∈（3，4）．
∵方程g（x）=0在[t，+∞）（t∈N⁺）上有解，
∴t≤3，
∴t的最大值為3．
（Ⅱ）a_n=f（n）=

lnn

n+1

，
由（Ⅰ）可知，函數(shù)f（x）在（0，x₀）單調(diào)遞增，在（x₀，+∞）單調(diào)遞減．
又x₀∈（3，4），
∴a₁＜a₂＜a₃，a₄＞a₅＞a₆＞…；
∵a₁=0，故沒有項(xiàng)與之相等；
a₂=

ln2

3

=

ln8

9

=a₈；
a₃=

ln3

4

＜

ln4

5

=a₄；
a₃=

ln3

4

＞

ln5

6

=a₅；
故數(shù)列{a_n}中存在唯一相等的兩項(xiàng)，即a₂=a₈=

ln2

3

；
（2）證明：通過構(gòu)造函數(shù)易證，
1-

1

x

＜lnx＜x-1，（x＞0）；
1-

x

y

＜ln

y

x

＜

y

x

-1（x＞0，y＞0），

2-1

2

＜ln2-ln1＜

2-1

1

，…

n-(n-1)

n

＜lnn-ln（n-1）＜

n-(n-1)

n-1

；
再疊加得

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜1+

1

2

+…+

1

n-1

．
即

n

k=2

1

k

＜b_n＜

n-1

k=1

1

k

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題的處理方法，同時(shí)考查了數(shù)列的應(yīng)用，屬于中檔題．