Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=x²-（a+b）x+ab，其中a＜b，a，b∈R⁺．
（1）?x∈R⁺，f（x）≤kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若g（e）＞0，比較a^b與b^a的大�。�

Answer 1

分析 （1）問題等價(jià)于lnx-kx²≤0恒成立，令h（x）=lnx-kx²，（x＞0），求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的符號，得到h（x）的單調(diào)性，求出h（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；
（2）先求出b＞a＞e，再利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 解：（1））?x∈R⁺，f（x）≤kx恒成立，
等價(jià)于lnx-kx²≤0恒成立，
令h（x）=lnx-kx²，（x＞0），
則h′（x）=$\frac{1}{x}$-2kx=$\frac{1-2{kx}^{2}}{x}$，
顯然k≤0，h′（x）＞0，h（x）遞增，不合題意，
k＞0時(shí)，令h′（x）＞0，解得：x＜$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，令h′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，
∴h（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{2k}}$）遞增，在（$\sqrt{\frac{1}{2k}}$，+∞）遞減，
∴h（x）_max=h（$\sqrt{\frac{1}{2k}}$）=ln$\sqrt{\frac{1}{2k}}$-k•$\frac{1}{2k}$≤0，
解得：k≥$\frac{1}{2e}$；
（2）g（x）=x²-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），其中a＜b，a，b∈R⁺，
由g（e）=（e-a）（e-b）＞0，得：b＞a＞e，或a＜b＜e，
由函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
則f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，
即函數(shù)f（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
①若e＜a＜b，
∴$\frac{lna}{a}$＞$\frac{lnb}$，即blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
則a^b＞b^a；
②若a＜b＜e，
∴$\frac{lna}{a}$＜$\frac{lnb}$，即blna＜alnb，
即lna^b＜lnb^a，
則a^b＜b^a．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想；本題還考查了指數(shù)冪的大小比較，根據(jù)已知條件，利用函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)有一定的難度，屬于中檔題．