Question

4．在△ABC中，B=45°，$b=\sqrt{10}$，$cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．
（1）求sinA及BC邊的長(zhǎng)；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，由cosC的值，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式可得sinC的值，再利用正弦的和差公式計(jì)算sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，計(jì)算可得sinA的值，結(jié)合正弦定理可得BC=a=$\frac{b×sinA}{sinB}$，代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得答案；
（2）由（1）可得a、b、sinA的值，將其代入三角形面積公式S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC中，計(jì)算可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，$cosC=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，則sinC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
又由正弦定理：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，則有a=BC=$\frac{b×sinA}{sinB}$=3$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可得：a=3$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{10}$，sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{10}×\frac{\sqrt{5}}{5}$=3；
即△ABC的面積為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理的應(yīng)用，涉及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是熟悉正弦定理的內(nèi)容以及適用條件．