Question

17．在△ABC所在平面內(nèi)有一動點P，令$\overrightarrow{PA}$²+$\overrightarrow{PB}$²+$\overrightarrow{PC}$²=T，當(dāng)T取得最小值時P為△ABC的（　　）

• A． 垂心
• B． 重心
• C． 外心
• D． 內(nèi)心

Answer 1

分析 利用特殊值法建立坐標(biāo)系，結(jié)合向量模長的公式進(jìn)行判斷即可．

解答 解：不妨設(shè)三角形為直角邊邊長為1的等腰三角形，
則A（0，0），B（1，0），C（0，1），設(shè)P（x，y），
則T=$\overrightarrow{PA}$²+$\overrightarrow{PB}$²+$\overrightarrow{PC}$²=x²+y²+（x-1）²+y²+x²+（y-1）²=3x²+3y²-2x-2y+2
=3（x-$\frac{1}{3}$）²+3（y-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{4}{3}$，
∴當(dāng)x=y=$\frac{1}{3}$時，T取得最小值，
此時P（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∵三角形的重心坐標(biāo)為（$\frac{0+1+0}{3}$，$\frac{0+0+1}{3}$），即（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$），
∴P（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$）是三角形的重心，
故選：B．

點評 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件利用特殊值法，建立坐標(biāo)系將條件轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的計算能力．