Question

2．某投資公司對以下兩個項目進行前期市場調研：
項目A：通信設備，根據(jù)調研，投資到該項目上，所有可能結果為：獲利40%、損失20%、不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為$\frac{7}{12}$、$\frac{1}{6}$、a．
項目B：新能源汽車，根據(jù)調研，投資到該項目上，所有可能結果為：獲利30%、虧損10%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為b、c．
經(jīng)測算，當投入A、B兩個項目的資金相等時，它們所獲得的平均收益（即數(shù)學期望）也相等．
（1）求a，b，c的值；
（2）若將100萬元全部投到其中的一個項目，請你從風險控制角度為投資公司選擇一個合理的項目，說明理由；
（3）若對項目A投資x（0≤x≤100）萬元，所獲得利潤為隨機變量Y₁，；項目B投資（100-x）萬元，所獲得利潤為隨機變量Y₂，記f（x）=D（Y₁）+D（Y₂），當x為何值時，f（x）取到最小值？最小值為多少？
（參考公式：隨機變量X的方差：D（X）=$\sum_{i=1}^{n}$（x${\;}_{i}-E（X））^{2}$²p_i，D（aX+b）=a²D（x））

Answer 1

分析 （1）由題意$\frac{7}{12}+\frac{1}{6}+a=1$，從而能求出a，設投資到項目A和B的資金都為X萬元，變量X₁和X₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，分別求出X₁、X₂的分布列和數(shù)學期望，由E（X₁）=E（X₂），能求出b和c．
（2）當投入100萬元資金時，求出X=100，E（X₁）=E（X₂）=20，再求出D（X₁），D（X₂），由此能求出結果．
（3）由${Y}_{1}=\frac{x}{100}$X₁，Y₂=$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$，求出f（x）=DY₁+DY₂=D（$\frac{x}{100}{X}_{1}$）+D（$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$），由此能求出當x=$\frac{100}{3}$時，f（x）取得最小值200．

解答 解：（1）∵獲利40%、損失20%、不賠不賺這三種情況發(fā)生的概率分別為$\frac{7}{12}$、$\frac{1}{6}$、a．
∴$\frac{7}{12}+\frac{1}{6}+a=1$，
解得a=$\frac{1}{4}$，
設投資到項目A和B的資金都為X萬元，
變量X₁和X₂分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，
則X₁的分布列為：

X1	0.4X	-0.2X	0
P	$\frac{7}{12}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$

X₂的分布列為：

X2	0.3X	-0.1X
P	b	c

E（X₁）=$0.4X•\frac{7}{12}+（-0.2X）•\frac{1}{6}+0•\frac{1}{4}=0.2X$，
E（X₂）=0.3bX-0.1cX，
∵E（X₁）=E（X₂），∴$\left\{\begin{array}{l}{0.3b-0.1c=0.2}\\{b+c=1}\end{array}\right.$，
解得b=$\frac{3}{4}$，c=$\frac{1}{4}$．
綜上所述，a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{4}$，c=$\frac{1}{4}$．
（2）當投入100萬元資金時，由（Ⅰ）知X=100，
∴E（X₁）=E（X₂）=20，
D（X₁）=（40-20）²×$\frac{7}{12}$+（-20-20）²×$\frac{1}{6}$+（0-20）²×$\frac{1}{4}$=600，
D（X₂）=（30-20）²×$\frac{3}{4}$+（-10-20）²×$\frac{1}{4}$=300，
∵D（X₁）＞D（X₂），E（X₁）=E（X₂），
∴雖然項目A和項目B的平均收益相等，但項目B更穩(wěn)妥，
∴從風險控制角度，建議該投資公司選擇項目B．
（3）${Y}_{1}=\frac{x}{100}$X₁，Y₂=$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$，
∴f（x）=DY₁+DY₂=D（$\frac{x}{100}{X}_{1}$）+D（$\frac{100-x}{100}{X}_{2}$）
=（$\frac{x}{100}$）²DX₁+（$\frac{100-x}{100}$）²DX₂
=$\frac{3}{100}$[2x²+（100-x）²]
=$\frac{9}{100}$（x-$\frac{100}{3}$）²+200，
∴當x=$\frac{100}{3}$時，f（x）取得最小值200．

點評 本題考查概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差的求法及應用，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．