分析 (1)推導(dǎo)出PM⊥CD,CD⊥AD,由此能證明CD⊥平面AMPD.
(2)以D為原點,DA,DP,DC依次為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角M-BP-C的余弦值.
解答 證明:(1)因為PM⊥平面CDM,且CD?平面CDM,
所以PM⊥CD,
又ABCD是正方形,所以CD⊥AD,
而梯形AMPD中PM與AD相交,
所以CD⊥平面AMPD.
解:(2)∵CD⊥平面AMPD,則CD⊥PD,CD⊥AD,
又PD∥MA,MA⊥AD,
∴PD⊥AD,
以D為原點,DA,DP,DC依次為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)MA=$\frac{1}{2}$PD=1,AD=a,
則A(a,0,0),M(a,1,0),B(a,0,a),C(0,0,a),P(0,2,0),
$\overrightarrow{PM}$=(a,-1,0),$\overrightarrow{BC}$=(-a,0,0),
由BC與PM所成角為45°,
得cos<$\overrightarrow{PM},\overrightarrow{BC}$>=$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}+1}•|a|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,解得a=1,
∵$\overrightarrow{BP}$=(-1,2,-1),$\overrightarrow{PM}$=(1,-1,0),
設(shè)平面NBP的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-x+2y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PM}=x-y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,1,1),
$\overrightarrow{BC}$=(-1,0,0),$\overrightarrow{BP}$=(-1,2,-1),
設(shè)平面CBP的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{BP}=-a+2b-c=0}\end{array}\right.$,取b=1,得$\overrightarrow{{n}_{2}}$=(0,1,2),
設(shè)二面角M-BP-C的平面角為θ,
則cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=-$\frac{3}{\sqrt{3}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
∴二面角M-BP-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{15}}{5}$.
點評 本題考查面面垂直的證明,考查二面角的求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | -log23 | B. | -2log23 | C. | 1-log23 | D. | 3-2log23 |
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A. | (-∞,-1) | B. | (-∞,1) | C. | (1,+∞) | D. | (-1,+∞) |
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