Question

13．已知過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，斜率為$2\sqrt{2}$的直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點，且$|AB|=\frac{9}{2}$．
（1）求該拋物線的方程；
（2）過拋物線上的一個點M（1，2）作兩條垂直的直線MP，MQ分別交拋物線于P，Q兩點，試問：直線PQ是否過定點，如果過，請求出來，不過，請說明理由．
（3）求原點O到直線PQ的最大距離為多少？

Answer 1

分析 （1）由）拋物線y²=2px（p＞0）焦點F（-$\frac{p}{2}$，0），則直線AB的方程是$y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）$，代入拋物線方程，由韋達定理求得${x_1}+{x_2}=\frac{5p}{4}$，則$|AB|={x_1}+{x_2}+p=\frac{5p}{4}+p=\frac{9}{2}$，即可求得p的值，求得該拋物線的方程；
（2）設$P（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$Q（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，則$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$-1，y₁-2），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$-1，y₂-2），由$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=0$，求得y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0，直線PQ的方程，整理得：$y=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{-2（{y_1}+{y_2}）-20}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}+{y_1}}}（x-5）-2$，直線PQ必過定點B（5，-2）；
（3）由（2）可知原點O到直線PQ的最大距離為d=$\sqrt{{5^2}+{{（-2）}^2}}=\sqrt{29}$．

解答 解：（1）拋物線y²=2px（p＞0）的焦點在x軸的正半軸，焦點F（-$\frac{p}{2}$，0），
∴直線AB的方程是$y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=2\sqrt{2}（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，整理得：4x²-5px+p²=0，
由韋達定理可知：${x_1}+{x_2}=\frac{5p}{4}$，
∴$|AB|={x_1}+{x_2}+p=\frac{5p}{4}+p=\frac{9}{2}$，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設$P（\frac{{{y_1}^2}}{4}，{y_1}）$，$Q（\frac{{{y_2}^2}}{4}，{y_2}）$，
則$\overrightarrow{MP}$=（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$-1，y₁-2），$\overrightarrow{MQ}$=（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$-1，y₂-2），
由$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{MQ}=0$，
∴$（\frac{{{y_1}^2}}{4}-1，{y_1}-2）•（\frac{{{y_2}^2}}{4}-1，{y_2}-2）=0$，
∴（y₁-2）（y₂-2）[（y₁+2）（y₂+2）+16]=0，即y₁y₂+2（y₁+y₂）+20=0，
直線PQ的方程：$\frac{{y-{y_1}}}{{{y_2}-{y_1}}}=\frac{{x-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}{{\frac{{{y_2}^2}}{4}-\frac{{{y_1}^2}}{4}}}=\frac{{4x-{y_1}^2}}{{（{y_2}+{y_1}）（{y_2}-{y_1}）}}$，
∴$y=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4x}{{{y_2}+{y_1}}}+\frac{{-2（{y_1}+{y_2}）-20}}{{{y_2}+{y_1}}}=\frac{4}{{{y_2}+{y_1}}}（x-5）-2$，
故直線PQ必過定點B（5，-2）．
（3）由（2）可知原點O到直線PQ的最大距離為d=$\sqrt{{5^2}+{{（-2）}^2}}=\sqrt{29}$．

點評 本題考查拋物線的標準方程，直線與拋物線的位置關系，考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查直線方程的應用，點到直線的距離公式，考查計算能力，屬于中檔題．