分析 利用余弦定理可得cosC,再利用三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:由∠B=∠C,得b=c,代入$7{a^2}+{b^2}+{c^2}=4\sqrt{3}$,
得$7{a^2}+2{b^2}=4\sqrt{3}$,即$2{b^2}=4\sqrt{3}-7{a^2}$,
由余弦定理得,$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}=\frac{a}{2b}$,
∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\frac{{\sqrt{4{b^2}-{a^2}}}}{2b}=\frac{{\sqrt{8\sqrt{3}-15{a^2}}}}{2b}$,
則△ABC的面積$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}ab×\frac{{\sqrt{8\sqrt{3}-15{a^2}}}}{2b}=\frac{1}{4}a\sqrt{8\sqrt{3}-15{a^2}}=\frac{1}{4}\sqrt{{a^2}(8\sqrt{3}-15{a^2})}=\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{15}}}{15}\sqrt{15{a^2}(8\sqrt{3}-15{a^2})}$$≤\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{15}}}{15}×\frac{{15{a^2}+8\sqrt{3}-15{a^2}}}{2}=\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{15}}}{15}×4\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$,
當且僅當$15{a^2}=8\sqrt{3}-15{a^2}$時取等號,此時${a^2}=\frac{{4\sqrt{3}}}{15}$,
∴△ABC的面積的最大值是$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$.
點評 本題考查了余弦定理、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a>c>b | B. | b>c>a | C. | a>b>c | D. | c>b>a |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 5 | B. | 6 | C. | 10 | D. | 11 |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | $-\frac{2}{3}$ | B. | $\frac{3}{2}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $-\frac{3}{2}$ |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com