Question

已知數(shù)列滿足，向量，且.

（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列，并求通項公式；

（2）設(shè)，若對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先利用向量垂直結(jié)合向量坐標(biāo)運算得到，并在等式兩邊同時除以得到，結(jié)合定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，并確定其首項和公差，求出數(shù)列的通項公式，進而求出數(shù)列的通項公式；（2）先確定數(shù)列的通項公式，將不等式等價轉(zhuǎn)化為，利用作商法研究數(shù)列的單調(diào)性，并確定數(shù)列的最小項，解不等式

求出實數(shù)的取值范圍.

（1）因為，所以，

即，，

所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，；

（2）可知，令，得，

即當(dāng)，，都有，

而，故，

從而，解得.

考點：1.定義法證明等差數(shù)列；2.數(shù)列的單調(diào)性；3.數(shù)列不等式恒成立