Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-1，a_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）將n換為n-1，兩式相減，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到所求，注意運(yùn)用分段數(shù)列的形式；
（2）由等比數(shù)列的求和公式，注意從第二項(xiàng)開始，即可得到所求和．

解答 解：（1）由a₁=-1，a_n+1=2S_n，
可得a_n=2S_n-1，n＞1．
兩式相減可得，a_n+1-a_n=2a_n，
即有a_n+1=3a_n，
由a₂=2S₁=2a₁=-2，
則a_n=a₂•3^n-2=-2•3^n-2，
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{-2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）前n項(xiàng)和T_n=-1+（-2）+（-2）•3+…+（-2）•3^n-2
=-1+（-2）•$\frac{1-{3}^{n-1}}{1-3}$=-3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)變換相減法，考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．